止まりました。
とりあえずは「対処」できたので、結論をお急ぎであろう読者さまへ結果から申しあげますと、
CPU ファン（とヒートシンクのあいだ）にホコリが堆積してファンが止まっていました。
以下 Windows10 のサポート切れも近く、古い PC に手を掛けるかたがどれほどおられるのかという気もするんですが、やべーっ、取り急ぎ、取り敢えず… という（初心者の）かた向けで。
以前ケースファンを交換し、
（この際 CPU ファンも交換してしまうのが良さそうでしたが、けっきょくそのまま。いつまで持ちますか）
と書いておったのですが、それから約二年。PC 起動時エラーを検出し、すぐにシャットダウンに入ってしまいます。
1. ケース内部の状況
ケースを開けてみる。前回掃除したので「比較的」綺麗ではある。ファン交換に関する基本的な注意事項などは上掲記事参照。
が、CPU ファンの羽にはホコリが堆積。指で勢いよく回してみると、重くて空回りせず直ぐに止まってしまいます。
ははーん、ベアリングが限界か…、とおもったのだが、羽の隙間から人差し指を辛うじて差し込めるところまで突っ込んでみると、なにやらクッション材のような感触が…。
当然クッション材なんぞではなく、分厚く堆積したホコリでした。ファンとヒートシンクのあいだに吸い込んだホコリが積りに積もって詰まってる模様。
当方のタワー型 PC 、CPU の冷却ユニットがマザーボードに直立してるタイプで羽の下側が見にくいのである（「サイドフロー型」というらしい）。CPU ファンが空気を PC 前面側からヒートシンクへ流し、熱交換後ケースファンが背後に吐き出す、というようなことですね。
「サイドフロー型」CPU 冷却ユニットの例（ ASCII.jp さんより）2. 清掃
ファン、ないし冷却ユニットまるごと外さないかぎり、とくに手前側は死角となっていてほとんど見えない。とりあえずピンセット（金属なので取り扱い注意）や割りばしで、羽のあいだからホコリを引っぱり出す。ワタボコリが、どんだけ詰まってんだというほど出て来た。とうぜんファンを外せば掃除しやすいのだが、これについては 4項 参照。
ケース背面を下にして立てて作業したりしていたので、冷却ユニットの下側となるケースファンに砂のようなゴミがヒートシンクの放熱板のあいだから落ちてくる。けっこうな量である。スペース的に突っ込みにくいが掃除機でも吸うことにした（しかもファン側にしか突っ込めない。また、静電気に要注意、らしい）。
ヒートシンク内はどれだけ除去できたか心許ないが、ファンのほうは、手で羽を回してみると空回りするようになった。ただし前回交換済みのケースファンに比べると重いかんじである… *1 。
ここで（モニターやキーボードを接続し）電源を入れてチェック。ヲヲーっ回りました。CPU ファンエラーも発生せず。
この際ということで電源ケーブルを再度外し、これはあまりお勧めしないですがウェットティッシュを羽のあいだからファンに突っ込み、手でファンを回してさらに残ったホコリを拭き取る。
3. 動作確認など
静かになったような。当方の PC 、温度はモニターできないのでかくにんできないが、ケースファンが（激しく）回る頻度も減ったように思える。
しかし、あのような状態で使用していたことも重なってヤヴァいでしょうね。大した値段でもなし、交換または少なくとも入手だけでもしておくのが吉、という気がするものの、「5分で出来ることを先送りする」出来ないヒトっぷりをここでも発揮（苦笑）。今のところそのままである。
それからグラフィックボードにも（当方のは）小さいファン付いてんだよなぁ掃除はしておきましたが。とりあえず CPU ファンはケースファンとおなじサイズ・仕様でよさそうなのは確認しておいた。
4. CPU ファンの交換（取り外し・取り付け）
しかし、ケース側からネジ止めするケースファン交換のときはそれが意味することを気にも留めなかったのだが、この手のファンてネジ止め用の取り付け穴が手前側・後ろ側両方に開けられている構造になっておるんですな。風向きを逆にする際に裏返して取りつけ可能ということで、もっともな仕様なれど、ファン側からはドライバーをネジに突っ込めないという *2 。横からアプローチできる特殊なドライバー（オフセットドライバー）が必要となる。
当方の PC の冷却ユニットは前述のとおり「サイドフロー型」なので、どのみちマザーボード側のネジにはアプローチ出来ないのだが *3 。なので、まずはユニットごと取り外す必要がある。そうなると CPU グリスも塗り直し。といいますか、いいかげん CPU グリスもヤバそう…。
冷却ユニットを取り外してファン（と CPU グリス）を買う実店舗に持ち込み、その場で特殊工具借りたりしちゃうか、とかおもったり。
［追記］つづきはこちら。
